Question

（2012•自贡一模）已知a∈R，求函数f（x）=（2-3a）x²-2x+a在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析：先对二次项系数进行分类讨论，再考虑二次函数的对称轴与区间的位置关系，从而确定函数f（x）=（2-3a）x²-2x+a在区间[0，1]上的最小值．

解答：解：Ⅰ、当2-3a=0，即 a=

2

3

时，f(x)=-2x+

2

3

在[0，1]上递减
∴fmin(x)=f(1)=-

4

3

（2分）
当2-3a≠0，即a≠

2

3

时，f（x）为二次函数                　　 （3分）
Ⅱ、若2-3a＞0，即a＜

2

3

时，f（x）的开口向上，其对称轴为x=

1

2-3a

（4分）
①当2-3a＞1时，即  a＜

1

3

时，此时0＜

1

2-3a

＜1，
∴fmin(x)=f(

1

2-3a

)=

3a2-2a+1

3a-2

  （6分）
②当 0＜2-3a≤1，即

1

3

≤a＜

2

3

时，此时

1

2-3a

≥ 1，f_min（x）=f（1）=-2a         （8分）
Ⅲ、若2-3a＜0，即a＞

2

3

时，f（x）的开口向下，其对称轴为x=

1

2-3a

  （9分）
f_min（x）=f（1）=-2a　　　　　　　　　　　　                　（10分）
综上可得：fmin(x)=

3a2-2a+1 3a-2 ，a＜ 1 3 -2a，a≥ 1 3

                　　   （12分）

点评：本题重点考查函数在指定区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是掌握二次函数求最值的方法．