Question

已知a∈R，求函数f（x）=x²e^ax的单调区间．

Answer 1

【答案】分析：本题考查利用导数求函数的单调区间，这一点不是很难，但要注意对a进行分类讨论
解答：解：函数f（x）的导数：f'（x）=2xe^ax+ax²e^ax=（2x++ax²）e^ax．
（I）当a=0时，若x＜0，则f'（x）＜0，若x＞0，则f'（x）＞0．
所以当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．
（II）当，
由
所以，当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，-）内为增函数，在区间（-，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；
（III）当a＜0时，由2x+ax²＞0，解得0＜x＜-，
由2x+ax²＜0，解得x＜0或x＞-．
所以当a＜0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，-）内为增函数，在区间（-，+∞）内为减函数．
点评：本小题主要考查导数的运算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想．