Question

对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：

①；②；③；④

其中在区间上通道宽度可以为的函数有 （写出所有正确的序号）.

 

Answer 1

①③④

【解析】

试题分析：因为函数在区间上单调递减，当时有最大值1,且，所以是区间上通道宽度为的函数，所以①符合题意；

因为当时，，所以函数是区间上通道宽度为2的函数，所以②不符合题意；

因为由得，所以函数的图象是双曲线位于第一象限的部分，位于直线与直线之间，由于两直线间的距离，所以函数是在区间上通道宽度可以为的函数，所以③符合题意；

因为，所以，令得：

当时，，函数在上为增函数；

当时，，函数在上为减函数；

所以，当时，函数有最大值，因此函数在上的取值范围是

所以函数是在区间上通道宽度可以为的函数，所以④符合题意；

综上，答案应填：①③④.

考点：1、新定义；2、函数的图象与性质.3、导数在研究函数性质中的应用.