Question

【题目】设函数．

（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）最小值为．（2）

【解析】

（1）根据题意，确定函数定义域，然后求导，若函数在上为减函数，则在上恒成立，转化不等式为，令，求解的最小值，则，即可求解参数最值.

（2）问题等价于当时，有，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出的具体范围即可.

（1）由已知得的定义域，

∵在上为减函数，

∴在上恒成立，

，

令，故当，即时，

的最小值为，∴，即∴的最小值为．

（2）命题“若存在，使成立”，

等价于“当时，有”，

由（1）知，当时，，，

，

，

问题等价于：“当时，有”，

①当，即时，由（1），在上为减函数，

则．

②当，即时，，

∵，由复合函数的单调性知在上为增函数，

∴存在唯，使且满足：

，

要使，

与矛盾，∴不合题意．

综上，实数的取值范围为．