Question

【题目】已知函数，

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上有1个零点，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) ;(3)见解析.

【解析】试题分析：（1）当时，得到，求得，利用和，即可求解函数的单调区间；

（2）由，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围；

（3）假设存在正整数，使得在上恒成立，分类参数得出对恒成立，设函数，求得，求得函数单调性与极值，即可求解实数的最大值.

试题解析：

（1）当时， ， ．

令，解得，令，解得，

∴的单调增区间为，单调减区间为．

（2），

当时，由，知，

所以， 在上是单调增函数，且图象不间断，

又，∴当时， ，

∴函数在区间上没有零点，不合题意．

当时，由，解得，

若，则，故在上是单调减函数，

若，则，故在上是单调增函数，

∴当时， ，

又∵， 在上的图象不间断，

∴函数在区间上有1个零点，符合题意．

综上所述， 的取值范围为．

（3）假设存在正整数，使得在上恒成立，

则由知，从而对恒成立（*）

记，得，

设， ，

∴在是单调增函数，

又在上图象是不间断的，

∴存在唯一的实数，使得，

∴当时， 在上递减，

当时， 在上递增，

∴当时， 有极小值，即为最小值， ，

又，∴，∴ ，

由（*）知， ，又， ，∴ 的最大值为3，

即存在最大的正整数，使得在上恒成立．