Question

（2013•泉州模拟）已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为正方形，D₁D⊥面ABCD，AB=4，AA₁=2，点E在棱C₁D₁上，且D₁E=3．
（Ⅰ）试在棱CD上确定一点E₁，使得直线EE₁∥平面D₁DB，并证明；
（Ⅱ）若动点F在底面ABCD内，且AF=2，请说明点F的轨迹，并探求EF长度的最小值．

Answer 1

分析：（I）取CD的四等分点E₁，使得DE₁=3，可证出D₁EE₁D为平行四边形，得D₁D∥EE₁，结合线面平行的判定定理，可证出直线EE₁∥平面D₁DB，因此当点E₁是CD靠近C的四等分点时，满足EE₁∥平面D₁DB；
（II）根据题意，点F的轨迹是在平面ABCD内，以A为圆心、半径等于2的四分之一圆弧．根据线面垂直的性质，得E₁E⊥面ABCD，所以Rt△EE₁F中，得EF=

4+E1F2

，所以E₁F的长度取最小值时EF的长度最小．结合图形得E₁F的最小值为3，由此可得
EF长度的最小值为

4+3  2

=

13

．

解答：解：（Ⅰ）取CD的四等分点E₁，使得DE₁=3，则有EE₁∥平面D₁DB．证明如下：…（1分）
∵D₁E∥DE₁且D₁E=DE₁，
∴四边形D₁EE₁D为平行四边形，可得D₁D∥EE₁，…（2分）
∵DD₁?平面D₁DB，EE₁?平面D₁DB，∴EE₁∥平面D₁DB．…（4分）
（Ⅱ）∵AF=2，
∴点F在平面ABCD内的轨迹是以A为圆心、半径等于2的四分之一圆弧．…（6分）
∵EE₁∥DD₁，D₁D⊥面ABCD，∴E₁E⊥面ABCD，…（7分）
Rt△EE₁F中，可得EF=

E1E2+E1F2

=

4+E1F2

．…（8分）
因此，当E₁F的长度取最小值时，EF的长度最小，此时点F为线段AE₁和四分之一圆弧的交点，…（10分）
即E₁F=E₁A-AF=5-2=3，
此时，EF=

E1E2+E1F2

=

13

．
∴EF长度的最小值为

13

．…（12分）

点评：本小题在长方体中求证线面平行，并EF长度的最小值．着重考查了直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等知识，属于中档题．