题目内容

(2013•泉州模拟)如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x(x∈(0,1)).以A,B为焦点,且过点D的双曲线的离心率为e1;以C,D为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1+e2的取值范围为 (  )
分析:根据余弦定理表示出BD,进而根据双曲线的性质可得到a的值,再由AB=2c,e=
c
a
可表示出e1,同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式,然后利用换元法求出e1+e2的取值范围即可.
解答:解:BD=
AD2+AB2-2AD×ABcos∠DAB
=
1+4x

∴a1=
1+4x
-1
2
,c1=1,a2=
1+4x
+1
2
,c2=x,
∴e1=
2
1+4x
-1
,e2=
2x
1+4x
+1
,e1e2=1
但e1+e2≥2
e1e2
中不能取“=”,
∴e1+e2=
2
1+4x
-1
+
2x
1+4x
+1
=
2
1+4x
-1
+
1+4x
-1
2

令t=
1+4x
-1∈(0,
5
-1),则e1+e2=
1
2
(t+
4
t
),t∈(0,
5
-1),
∴e1+e2∈(
5
,+∞)
∴e1+e2的取值范围为(
5
,+∞).
故选B.
点评:本小题主要考查椭圆的简单性质、双曲线的简单性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.
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