Question

已知函数对任意实数x、y都有=·，且，，当时，0≤＜1．

（1）求及的值；

（2）判断的奇偶性；

（3）判断在[0，＋∞上的单调性，并给出证明；

（4）若且≤，求的取值范围．

Answer 1

解：⑴=0  ……………1分

∵=9，又=·=··= []，

∴9 = []，∴=，……………3分

⑵令y =－1，则=·，

∵=1，∴=  ，且 所以为偶函数．……………6分

⑶若x≥0，则==·=[]≥0．……………7分

若存在，则，矛盾，

所以当时，……………8分

设0≤x＜x，则0≤＜1，∴==·，……………9分

∵当x≥0时≥0，且当0≤x＜1时，0≤＜1．

∴0≤＜1，∴＜，故函数在[0，＋∞上是增函数．………11分

（4）∵≤，∴≤，……………12分

∵a≥0，(a＋1)，3[0，＋∞，函数在[0，＋∞上是增函数．

∴a＋1≤3，即a≤2，   ……………13分

又a≥0，故0≤a≤2．