题目内容

已知幂函数f（x）的图象经过点（ $数学公式$ ， $数学公式$ ），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x₁f（x₁）＞x₂f（x₂）；②x₁f（x₁）＜x₂f（x₂）；③ $数学公式$ ＞ $数学公式$ ；④ $数学公式$ ＜ $数学公式$ ．其中正确结论的序号是________．

②③
分析：利用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数大于0得到幂函数在（0，+∝）上的单调性；图象呈上升趋势，判断出②③正确．
解答：依题意，设f（x）=x^α，则有（ $\text{[math]}$ ）^α= $\text{[math]}$ ，即（ $\text{[math]}$ ）^α=（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，
所以α= $\text{[math]}$ ，于是f（x）=x $\text{[math]}$ ．
由于函数f（x）=x $\text{[math]}$ 在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当x₁＜x₂时，必有f（x₁）＜f（x₂），
从而有x₁f（x₁）＜x₂f（x₂），故②正确；
又因为 $\text{[math]}$ ，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数
图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，所以③正确．
答案②③
点评：本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定．