Question

若函数f（x）=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则a等于________．

Answer 1

2
分析：由“f（x）=log_a（x+1）的定义域是[0，1]”可知0≤x≤1，从而有1≤x+1≤2，再利用对数函数的单调性来研究：当a＞1时，函数是增函数，则有“log_a1≤log_a（x+1）≤log_a2”求解；当0＜a＜1时，函数是减函数，则有“log_a2≤log_a（x+1）≤log_a1”求解，最两个结果取并集．
解答：f（x）=log_a（x+1）的定义域是[0，1]，
∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2．
当a＞1时，0=log_a1≤log_a（x+1）≤log_a2=1，
∴a=2；
当0＜a＜1时，log_a2≤log_a（x+1）≤log_a1=0，
与值域是[0，1]矛盾
综上：a=2
故答案为：2
点评：本题主要考查对数函数的定义域，值域和单调性，要注意研究值域或最值时，一定要研究单调性，同时，还要考虑定义域．