Question

如图，已知三棱锥S-ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，SC=1，∠SCA=90°，侧面SAC与底面ABC所成二面角为60°，E、D分别为SA和AC的中点．
（1）求点S到平面BDE的距离；
（2）求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定点S到平面BDE的距离等于点C到平面BDE的距离，利用等面积，即可求解；
（2）利用三棱锥的体积公式，即可求出结论．
解答：解：（1）∵E、D分别为SA和AC的中点，
∴ED∥SC
∵∠SCA=90°，
∴ED∥AC，
∴点S到平面BDE的距离等于点C到平面BDE的距离，设为h，
∵底面△ABC是边长为2的正三角形
∴BD⊥AC
∵侧面SAC与底面ABC所成二面角为60°
∴∠BDE=60°
∵底面△ABC是边长为2的正三角形，SC=1，
∴=
∵E到平面DBC的距离为，S_△BDC=
∴由等体积可得
∴h=1；
（2）∵E到平面DBC的距离为，∴S到平面DBC的距离为，
∵
∴三棱锥S-ABC的体积为=．
点评：本题考查点面距离的计算，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．