Question

【题目】已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于、两点，且的周长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在直线使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，直线的方程为或.

【解析】

（1）根据离心率公式、椭圆定义，结合椭圆性质，解方程组即可求出椭圆方程；

（2）分两种情况讨论，当斜率不存在时，其面积为，不符题意，当斜率存在时，可设出直线方程，代入椭圆方程可得，结合韦达定理代入三角形面积公式，即可得解.

解：（1）由题意得 ∴

故椭圆的标准方程为.

（2）存在直线满足题意，由（1）知右焦点，

当直线的斜率不存在时，此时，，，

，不符合题意，

故设直线的方程为，设，，

联立方程组消去得.

∵，∴，，

∴，

∴，

∴，∴，∴或（舍去），

∴，故直线的方程为或.