题目内容

（理）等差数列{a_n}中，首项a₁=1，公差d≠0，已知数列 $数学公式$ 成等比数列，其中k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（1）求数列{a_n}，{k_n}的通项公式；
（2）当n∈N⁺，n≥2时，求证： $数学公式$ ．

解：（1）a₂²=a₁•a₅?（1+d）²=1•（1+4d）?d=2，∴a_n=2n-1，
∴ $\text{[math]}$ ，
又等比数列中，公比 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ …（6分）
证明：（2） $\text{[math]}$ ，
m=2时， $\text{[math]}$ ，m≥3时，∵3^m-1＞2m，∴ $\text{[math]}$ ，…（9分）
记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
相减得到： $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ …（13分）
所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）由题意可得a₂²=a₁•a₅，从而可求d=2，故可求a_n=2n-1，从而 $\text{[math]}$ ，又等比数列中，公比 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，故可求{k_n}的通项公式；
（2）先考虑通式： $\text{[math]}$ ，可得m=2时， $\text{[math]}$ ，m≥3时， $\text{[math]}$ ，再采用错位相减法即可求和证得．
点评：本题以数列为载体，综合考查等差数列与等比数列，考查放缩法的运用，考查数列与不等式，综合性强．