Question

（2013•成都二模）设数列{a_n}的前n项和为S_n点（a_n，S_n）在直线x+y-2=O上，n∈N^*．
（I）证明数列{a_n}为等比数列并求出通项公式a_n
（II）设直线x=a_n与函数f（x）=x²的图象交于点A_n，与函数g(x)=log

1

2

x的图象交 于点B_n，记bn=

OAn

.

OBn

（其中O为坐标原点），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，a_n+s_n=2，利用a_n=s_n-s_n-1可建立a_n与a_n-1之间的递推关系，然后结合等比数列的通项公式可求a_n，
（II）由题意先求B_n，然后利用向量的数量积的坐标表示求出bn=

OAn

•

OBn

，结合数列的项的特点，考虑利用错位相减求和可求

解答：解：（I）由题意可得，a_n+s_n=2
∴当n≥2时，a_n-1+s_n-1=2
两式相减可得，a_n-a_n-1+a_n=0
即a_n=2a_n-1
∵a₁+s₁=2
∴a₁=1
∴{a_n}是以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列
∴a_n=

1

2n-1

（II）由题意可得Bn(

1

2n-1

，n-1)
∴bn=

OAn

•

OBn

=

1

4n-1

+

n-1

4n-1

=

n

4n-1

∴s_n=1×

1

40

+2×

1

4

+3×

1

42

+…+

n

4n-1

 

1

4

sn=1×

1

4

+2×

1

42

+…+

n-1

4n-1

+

n

4n

   
两式相减可得，

3

4

Sn=1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

-

n

4n

∴s_n=

16

9

-(

4n

3

+

16

9

)×

1

4n

=

16

9

-

3n+4

9×4n-1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及数列的错位相减求和方法的应用．