Question

已知函数h ( x ) = 2^x（x∈R），它的反函数记作g ( x )，A、B、C三点在函数g ( x )的图像上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8（a > 1）．记△ABC的面积为S．

（1）求函数S = f ( a )的解析式；

（2）求函数S = f ( a )的值域；

（3）若S > 2，求a的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）依题意，g ( x ) = log2x（x > 0）， 并且A、B、C三点的坐标分别为A (a，log2a)，B (a+4，log2(a+4) )，C (a+8，log2(a+8) )（a > 1）（如下图）． ∴AC中点D的纵坐标为： ． ∴ ． ∵ ． ∴（a > 1）． （2）把S = f ( a )变形得． 由于a > 1，故 a2 + 8a > 9，       ∴  ． 又函数 y = log2x在（0，+∞）上是增函数， ∴  ，即 ． （3）由S > 2，即得    由此可解得   ．

提示：

由条件先求出g ( x )的表达式、A、B、C三点的坐标和AC中点D的纵坐标，再求△ABC的面积。然后应用指数函数的增减特性求解。