Question

若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且

f(x)

x

在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x²-（b-1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为

1

．

Answer 1

分析：由“弱增函数”的定义知h（x）在（0，1）上递增，

h(x)

x

在（0，1）上递减，分别根据二次函数、“对勾函数”的单调性求出b的取值范围，二者取交集即可求得b值．

解答：解：因为h（x）在（0，1]上是“弱增函数”，所以h（x）在（0，1）上递增，

h(x)

x

在（0，1）上递减．
（1）由h（x）在（0，1）上递增，得

b-1

2

≤0，解得b≤1；
（2）由

h(x)

x

=x+

b

x

-（b-1）在（0，1）上递减，得
①若b≤0，

h(x)

x

=x+

b

x

-（b-1）在（0，+∞）上递增，不合题意；
②若b＞0，由

h(x)

x

=x+

b

x

-（b-1）在（0，1）上递减，得

b

≥1，解得b≥1，
综上，得b≥1，
由（1）（2），得b=1．
故答案为：1．

点评：本题考查函数的单调性问题，熟练掌握常见函数如：二次函数、“对勾函数”的单调性可以为我们迅速解决问题提供帮助．