题目内容

（1）△ABC中，证明：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA
（2）计算：sin217°+cos247°+sin17°cos47°．
（1）△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA…（*）
又∵
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R（R是外接圆半径）
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
代入（*）式，得4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-2•2RsinB•2RsinCcosA
两边约去4R2，得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，原等式成立．
（2）∵cos47°=cos（90°-43°）=sin43°
∴sin217°+cos247°+sin17°cos47°=sin217°+sin243°+sin17°sin43°
设△ABC中，B=17°，C=43°，则A=180°-（17°+43°）=120°
由（1）得：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，
即sin2120°=sin217°+sin243°-2sin17°sin43°cos120°=sin217°+sin243°+sin17°sin43°
∴sin217°+sin243°+sin17°sin43°=sin2120°=（
3
2
）2=
3
4

即sin217°+cos247°+sin17°cos47°=
3
4
．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网（1）如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知
AM
=
c
、
AN
=
d
，试用
c
、
d
表示
AB
和
AD
．
（2）在△ABC中，若
AB
=
a
，
AC
=
b
若P，Q，S为线段BC的四等分点，试证：
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)；
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，s=
1
2
（a+b+c）
（1）证明
1
A
+
1
B
+
1
C
≥
9
π
；
（2）若s2=2ab，试证s＜2a．

（08年安徽信息交流）在周长为6的△ABC中，∠A、∠B   、∠C所对的边分别为，若成等比数列；

（1）求B的取值范围；

（2）求△ABC的面积S的最大值；

（3） 当△ABC的面积S最大时，过△ABC的重心G作直线交边AB于M，交边AC与N，设∠AGM=，试证：。

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF．

第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

 
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，s=（a+b+c）
（1）证明++≥；
（2）若s2=2ab，试证s＜2a．

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