Question

已知函数f（x）=

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x²-3x，g（x）=m-2lnx．
（Ⅰ）求f（x）在x=2处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有三个不同的交点？若存在，求出m的值或范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率和切点坐标，应用点斜式方程写出切线方程；
（Ⅱ）遇到关于两个函数的图象的交点个数的问题，一般是构造新函数，题目转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的最值，把函数的最值同0进行比较，得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

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x²-3x的导数f′（x）=x-3，
则切线的斜率为2-3=-1，切点为（2，-4），
∴f（x）在x=2处的切线方程为：y+4=-（x-2）即x+y+2=0；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，
即函数m（x）=f（x）-g（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵m（x）=

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x²-3x+2lnx-m，m′（x）=

(x-2)(x-1)

x

（x＞0）
当x∈（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x∈（1，2）时，m'（x）＜0，m（x）是减函数；
当x∈（2，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x=1，或x=2时，m'（x）=0．
∴m（x）_极大值=m（1）=-m-

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，m（x）_极小值=m（2）=-m+2ln2-4．
∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，
必须且只须m（1）＞0且m（2）＜0，
即2ln2-4＜m＜-

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．
∴存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，且m的取值范围为（2ln2-4，-

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）．

点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．