Question

设函数
（Ⅰ）当b＞0时，判断函数f_n（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间内存在唯一的零点；
（Ⅲ）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导数，验证f_n′（x）＞0，即可得到结论；
（Ⅱ）将n＞2，b=1，c=-1代入可得f_n（x）=xⁿ+x-1，结合指数函数的性质可得f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在（，1）上恒成立，进而判断出函数在区间上单调，分析区间两端点的函数值符号关系，进而根据零点存在定理，可得答案；
（Ⅲ）将n=2，根据|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，分类讨论不同情况下b的取值范围，综合讨论结果，可得b的取值范围．
解答：（Ⅰ）解：∵，
∴
∵b＞0，x＞0，n∈N₊
∴f_n′（x）＞0
∴函数f_n（x）在（0，+∞）上的单调递增；
（Ⅱ）证明：由n＞2，b=1，c=-1，得f_n（x）=xⁿ+x-1
∴f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在上恒成立，
∴f_n（x）=xⁿ+x-1在单调递增，
∵f_n（1）=1＞0，f_n（）=＜0，
∴f_n（x）在区间内存在唯一的零点；
（Ⅲ）解：当n=2时，f₂（x）=x²+bx+c
①当b≥2或b≤-2时，即-≤-1或-≥1，此时只需满足|f₂（1）-f₂（-1）|=|2b|≤4
∴-2≤b≤2，即b=±2；
②当0≤b＜2时，即-1＜-≤0，此时只需满足f₂（1）-f₂（-）≤4，即b²+4b-12≤0
解得：-6≤b≤2，即b∈[0，2）
③当-2＜b＜0时，即0＜-＜1，此时只需满足f₂（-1）-f₂（-）≤4，即b²-4b-12≤0
解得：-2≤b≤6，即b∈（-2，0）
综上所述：b∈[-2，2]．
点评：本题考查零点存在定理，导数法判断函数的单调性，待定系数法求范围，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．