Question

设函数f(x)=

x2+bx+c(x≤0) 2(x＞0)

，其中b＞0，c∈R．当且仅当x=-2时，函数f（x）取得最小值-2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若方程f（x）=x+a（a∈R）至少有两个零点，求实数a取值的集合．

Answer 1

分析：（1）由题意，当且仅当x=-2时，函数f（x）取得最小值-2，即为二次函数当x=-2时，函数f（x）取得最小值-2，从而利用二次函数求最值的方法可求；
（2）由题意，方程可化为x²+3x+2-a=0，要使方程有两不等实根，则判别式=9-4（2-a）＞0，解不等式可求．

解答：解：（1）由于二次函数的对称轴为x=-

b

2

此时有最小值
即-

b

2

=-2，f(-2)=4-2b+c=-2
解得b=4，c=2
所以f（x）=

x2+4x+2，  x≤0 2，  x＞0

，
（2）由题意，方程可化为x²+3x+2-a=0
要使方程有两不等实根，则判别式=9-4（2-a）＞0
解得a＞-

1

4

∴a取值范围的集合为{a|a＞-

1

4

}

点评：本题的考点是函数的零点与方程根的关系，主要考查函数解析式的求解，考查函数的零点与方程根的关系，关键是将问题转化为对应方程根的问题．