Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥平面A₁ACC₁，∠ACC₁=60°，AA₁=BC=AC=2，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求证：平面BDC₁⊥平面ABC；
（Ⅲ）求直线AA₁与平面BDC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接B₁C交C₁B于O，连接OD，利用OD是三角形B₁CA的中位线，说明OD∥B₁C，然后证明AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）证明平面BDC₁的直线C₁D，垂直平面ABC内的两条相交直线BC与AC，即可证明平面BDC₁⊥平面ABC；
（Ⅲ）求直线AA₁与平面BDC₁所成角的正弦值，转化为直线CC₁与平面BDC₁所成角的正弦值，利用（Ⅱ）的结论，作CF⊥BD通过解三角形即可求解．

解答：解：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥平面A₁ACC₁，∠ACC₁=60°，AA₁=BC=AC=2，D为AC的中点．
（Ⅰ）连接B₁C交C₁B于O，连接OD，因为几何体是三棱柱，∴O为B₁C的中点，
∴OD是三角形B₁CA的中位线，∴OD∥B₁C，
∵OD?平面BDC₁，B₁A?平面BDC₁，∴AB₁∥平面BDC₁；

（Ⅱ）∵BC⊥平面A₁ACC₁，∴C₁D⊥BC，
又∠ACC₁=60°，AA₁=BC=AC=2，D为AC的中点．∴C₁D⊥AC，
又BC∩AC=C，
∴C₁D⊥平面ABC，
∵CD?平面ABC，
∴平面BDC₁⊥平面ABC；
（Ⅲ）直线AA₁与平面BDC₁所成角的正弦值，就是直线CC₁与平面BDC₁所成角的正弦值，
因为平面BDC₁⊥平面ABC，所以过C作CF⊥BD于F，连接C₁F，
∴sin∠CC₁F=

CF

C1C

=

BC•CD BD

C1C

=

2×1 5

2

=

5

5

．

点评：本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判断与证明，直线与平面所成的角的求法，考查转化思想、计算能力，正确作出直线与平面所成的角是解题的关键．