题目内容
18、在数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=n（1+an），求数列{bn}的前n项和Sn．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=n（1+an），求数列{bn}的前n项和Sn．
分析：（1）利用an+1=an+2n，求出a2=a1+2，a3=a2+22，a4=a3+23，an=an-1+2n-1（n≥2），然后各式相加即可求出{an}的通项公式．
（2）由bn=n（1+an），求出bn=n•2n，Sn=2+2•22+3•23++n•2n和2Sn=22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1，两式相减即可求出Sn．
（2）由bn=n（1+an），求出bn=n•2n，Sn=2+2•22+3•23++n•2n和2Sn=22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1，两式相减即可求出Sn．
解答：解：（1）∵a2=a1+2，a3=a2+22，a4=a3+23，
an=an-1+2n-1（n≥2）
相加，得an=a1+2+22+…+2n-1=2n-1，
又a1=1符合上式
∴an=2n-1，
（2）bn=n•2n，Sn=2+2•22+3•23++n•2n，
2Sn=22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1，
∴Sn=-（2+22+23++2n）+n•2n+1=2-2n+1+n•2n+1 ．
an=an-1+2n-1（n≥2）
相加，得an=a1+2+22+…+2n-1=2n-1，
又a1=1符合上式
∴an=2n-1，
（2）bn=n•2n，Sn=2+2•22+3•23++n•2n，
2Sn=22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1，
∴Sn=-（2+22+23++2n）+n•2n+1=2-2n+1+n•2n+1 ．
点评：本题主要考查数列递推式和数列求和的知识点，解答本题求和时要会熟练掌握错位相减法进行求和，本题难度一般．
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，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．