Question

已知a，b，c∈R，且 a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证a，b，c全是正数．

 

Answer 1

答案：
解析：

分析  此题的已知条件结构比较复杂（分别是a，b，c的和、两两乘积之和，以及积均为正数），而结论只是a，b，c的符号．求证的结论及对结论的否定的结构都比较简单，因此可从对结论的否定的假设出发进行推理，并推出矛盾，从而推证结论成立，即采用反证法． 证明：假设a，b，c不全是正数，则由abc > 0可知a，b，c三个实数中有两个负数，一个正数．不失一般性，设a < 0，b < 0，c > 0． ∵ a + b + c > 0， ∴ c >－( a + b ) > 0． 两边同乘以负数a + b ，得c (a + b) < －( a + b )2 即ca + bc < －a2－2ab－b2 由此可得 ab + bc + ca < －a2－ab－b2 = －(a2 + ab + b2) < 0，与已知ab + bc + ca > 0矛盾，假设错误，故a，b，c全是正数． 评述  采用反证法证明不等式的关键步骤有两个，一是提出与结论相反，即对结论的否定的假设；二是由假设出发，进行正确的推理，推出矛盾． 此命题的逆命题“若a，b，c全是正数，则a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0”也是真命题，因此可得出“a，b，c全是正数的充要条件是a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0”的结论．