Question

1．过点A（-2，3）作直线与抛物线y²=8x在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 求出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．

解答 解：抛物线C：y²=8x，在第一象限的方程为y=2$\sqrt{2}x$，
设切点B（m，n），则n=2$\sqrt{2}$m，
又导数y′=2$\sqrt{2}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{x}}$，则在切点处的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}}$，
∴$\frac{n-3}{m+2}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}}$即$\sqrt{2}$m+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$m-3$\sqrt{m}$，
解得$\sqrt{m}$=2$\sqrt{2}$（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去），
∴切点B（8，8），又F（2，0），
∴直线BF的斜率为$\frac{8-0}{8-2}$=$\frac{4}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道中档题．