Question

7．已知函数f（x）=m-|x+1|，m∈R，且f（x-1）≥0的解集为[-2，2]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R⁺，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=m，求z=a+2b+3c的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件可得 f（x-1）=m-|x|，故有m-|x|≥0的解集为[-2，2]，即可求出m的值．
（Ⅱ）由柯西不等式得z=a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）$≥\frac{1}{2}{（\sqrt{a}•\frac{1}{{\sqrt{a}}}+\sqrt{2b}•\frac{1}{{\sqrt{2b}}}+\sqrt{3c}•\frac{1}{{\sqrt{3c}}}）^2}=\frac{9}{2}$，即可求z=a+2b+3c的最小值．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x-1）=m-|x|，f（x-1）≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|-m≤x≤m}．
又f（x-1）≥0的解集为[-2，2]，故m=2．…5分
（Ⅱ）由（1）知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=2，又a，b，c∈R⁺，由柯西不等式得
z=a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）
$≥\frac{1}{2}{（\sqrt{a}•\frac{1}{{\sqrt{a}}}+\sqrt{2b}•\frac{1}{{\sqrt{2b}}}+\sqrt{3c}•\frac{1}{{\sqrt{3c}}}）^2}=\frac{9}{2}$（当且仅当a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{3}{4}$，c=$\frac{1}{2}$时取等号）
∴z=a+2b+3c的最小值为$\frac{9}{2}$．…10分

点评 本题主要考查带有绝对值的函数的值域，柯西不等式在最值问题中的应用，属于中档题．