Question

18．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-2sinθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=\frac{1}{2}+at}\end{array}\right.$（t为参数，a为常数）．
（1）求直线l普通方程与圆C的直角坐标方程；
（2）若直线l分圆C所得的两弧长度之比为1：2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标公式，把极坐标方程化为普通方程，消去参数t，把参数方程化为普通方程；
（2）根据题意，得出直线l被圆C截得的弦所对的圆心角为120°，圆心C到直线l的距离d=$\frac{1}{2}$r，由此列出方程求出a的值．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程ρ=4cosθ-2sinθ可化为ρ²=4ρcosθ-2ρsinθ，
利用极坐标公式，化为普通方程是x²+y²=4x-2y，
即（x-2）²+（y+1）²=5；
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=\frac{1}{2}+at}\end{array}\right.$，
消去参数t，化为普通方程是y=$\frac{1}{2}$-ax；
（2）圆C的方程为（x-2）²+（y+1）²=5，圆心C为（2，-1），半径r=$\sqrt{5}$，
直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$-ax，即ax+y-$\frac{1}{2}$=0，
直线l将圆C分成弧长之比为1：2的两段圆弧，
∴直线l被圆截得的弦所对的圆心角为120°，
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{1}{2}$r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即$\frac{|2a-1-\frac{1}{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
整理得11a²-24a+4=0，
解得a=2或a=$\frac{2}{11}$．

点评 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，由题意得出圆心C到直线l的距离d等于半径r的一半是解题的关键．