Question

设a+b=2，b＞0，则当a=______时，

1

2|a|

+

|a|

b

取得最小值．

Answer 1

∵a+b=2，b＞0，
∴

1

2|a|

+

|a|

b

=

1

2|a|

+

|a|

2-a

，（a＜2）
设f（a）=

1

2|a|

+

|a|

2-a

，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a）=-

1

2a

+

a

a-2

，
f′（a）=

1

2a2

-

2

(a-2)2

=

-(3a-2)(a+2)

2a2(a-2)2

，当a＜-2时，f′（a）＜0，当-2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（-∞，-2）上是减函数，在（-2，0）上是增函数，
∴当a=-2时，

1

2|a|

+

|a|

b

取得最小值

3

4

．
同样地，当0＜a＜2时，得到当a=

3

4

时，

1

2|a|

+

|a|

b

取得最小值

5

4

．
综合，则当a=-2时，

1

2|a|

+

|a|

b

取得最小值．
故答案为：-2．