Question

【题目】已知函数f（x）=1nx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当x＞0时， ；
（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，f'（1）=1，
又f（1）=0，所以切线方程为y=x﹣1；
（Ⅱ）证明：由题意知x＞0，令 = ．
令 ，解得x=1．
易知当x＞1时，g'（x）＞0，易知当0＜x＜1时，g'（x）＜0．
即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
所以g（x）min=g（1）=0，g（x）≥g（1）=0
即 ，即x＞0时， ；
（Ⅲ）设h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），
依题意，对于任意x＞1，h（x）＞0恒成立．
，a≤1时，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，
当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，满足题意．
a＞1时，随x变化，h'（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（1，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	﹣	0	+
h（x）	↘	极小值	↗

h（x）在（1，a）上单调递减，所以g（a）＜g（1）=0
即当a＞1时，总存在g（a）＜0，不合题意．
综上所述，实数a的最大值为1
【解析】（Ⅰ）求出导函数 ，求出斜率f'（1）=1，然后求解切线方程．（Ⅱ）化简 = ．求出 ，令 ，解得x=1．判断函数的单调性求出极小值，推出结果．（Ⅲ）设h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），依题意，对于任意x＞1，h（x）＞0恒成立． ，a≤1时，a＞1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．