Question

【题目】已知函数 ．
（Ⅰ）如果f（x）在x=0处取得极值，求k的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（III）当k=0时，过点A（0，t）存在函数曲线f（x）的切线，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，
∴
∵函数f（x）在x=0处取得极值
∴ ，解得：k=0
当k=0时， ， ，
∴函数f（x）在x=0处取得极小值，符合题意．
（Ⅱ）因为 ．
①当k≥1时，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）为减函数
②当k＜1时，令f'（x）=0，则x=﹣ln（1﹣k），
当x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上单调递减；
当x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上单调递增；
（III）设切点坐标为（x0 ， y0），
则切线方程为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0）
即
将A（0，t）代入得 ．
令 ，所以 ．
当 时，x0=0．
所以 当x∈（﹣∞，0）时，M'（x）＞0，函数M（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，M'（x）＜0，M（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．
所以 当x0=0时，M（x）max=M（0）=1，无最小值．
当t≤1时，存在切线．
【解析】（Ⅰ）先求导，根据导数和极值的关系即可求出k的值，（Ⅱ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间，（Ⅲ）切点坐标为（x0 ， y0），根据导数的几何意义，以及导数和最值得关系即可求出．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．