Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD 都是边长为2的等边三角形，E 是BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）求PAB与平面 PCD 所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E 是BC的中点． 所以AD∥CE，且AD=CE
所以四边形ADCE是平行四边形，
所以AE∥CD，
AE平面PCD，CD平面PCD，
∴AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）连接DE，BD，设AE∩BD=O，连接PO，则四边形ABED是正方形，所以AE⊥BD，
因为，△PAB与△PAD 都是边长为2的等边三角形，PD=PB=2，O是BD的中点 所以PO⊥BD，
则PO= ，又OA= ，PA=2，所以PO⊥AO，
因为BD∩AE=O，所以PO⊥平面ABCD，
建立如图所示的坐标系，
则P（0，0， ），A（- ，0，0），B（0， ，0），E（ ），D（0，﹣ ），
所以 =（ ）， ， ， =（ ），
设 =（x，y，z）是平面PAB的法向量，则 可得 ，令x=1，则 =（0，﹣1，﹣1）．
设 =（x，y，z）是平面PCD的法向量，则 可得 ，
令y=1，则 =（0，1，﹣1）．
所以cos = =0．
所以平面PAB与平面 PCD 所成二面角的大小为90°．

【解析】（Ⅰ）证明AD∥CE，且AD=CE，推出AE∥CD，然后证明AE∥平面 PCD；（Ⅱ）连接DE，BD，证明AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，PO⊥平面ABCD，建立坐标系，求出相关点坐标，求出平面PAB的法向量，平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积求解平面PAB与平面 PCD 所成二面角的大小．
【考点精析】本题主要考查了直线平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．