Question

【题目】设函数f（x）=a2lnx+ax（a≠0），g（x）= 2tdt，F（x）=g（x）﹣f（x）．
（1）试讨论F（x）的单调性；
（2）当a＞0时，﹣e2≤F（x）≤1﹣e在x∈[1，e]恒成立，求实数a的取值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：g（x）= 2tdt=x2，

∴F（x）=g（x）﹣f（x）=x2﹣a2lnx﹣ax（x＞0），

F′（x）=2x﹣ ﹣a= ，

a＞0时，x∈（0，a）时，F（x）＜0，x∈（a，+∞）时，F（x）＞0，

∴函数F（x）在（0，a）递减，在区间（a，+∞）递增；

a＜0时，x∈（0，﹣ ）时，F（x）＜0，x∈（﹣ ，+∞）时，F（x）＞0，

∴函数F（x）在区间（0，﹣ ）递减，在（﹣ ，+∞）递增，

综上，a＞0时，函数F（x）在区间（0，a）递减，在（a，+∞）递增；

a＜0时，函数F（x）在区间（0，﹣ ）递减，在区间（﹣ ，+∞）递增

（2）解：由题意得F（1）=g（1）﹣f（1）=1﹣a≤1﹣e，即a≥e，

当a＞0时，由（1）得F（x）在[1，e]内递减，

故要使﹣e2≤F（x）≤1﹣e在x∈[1，e]恒成立，

只需 ，即 ，

即 ，即a=e

【解析】（1）求出g（x）的解析式，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的单调性，得到关于a的不等式组，解出即可．
【考点精析】掌握定积分的概念和利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．