Question

14．已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数．

Answer 1

分析 （1）将a=-1的值代入函数的解析式，求出函数的对称轴，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，进而求出满足条件的a的范围．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
图象是抛物线，且开口向上，对称轴是x=1，
所以，当x∈[-5，5]时，f（x）的单调递减区间是[-5，1]，单调递增区间是[1，5]；
（2）∵f（x）=x²+2ax+2，图象是抛物线，且开口向上，对称轴是x=-a；
当x∈[-5，5]时，若-a≤-5，即a≥5时，f（x）单调递增；

若-a≥5，即a≤-5时，f（x）单调递减；
所以，f（x）在[-5，5]上是单调函数时，
a的取值范围是（-∞，-5]∪[5，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，熟练掌握函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题