Question

4．在空间直角坐标系中，已知正四面体A-BCD的顶点A（0，0，0），B（0，2，0），$C（{\sqrt{3}，1，0}）$，则顶点D的坐标为$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，±\frac{2\sqrt{6}}{3}）$．

Answer 1

分析 由A（0，0，0），B（0，2，0），$C（{\sqrt{3}，1，0}）$，可得|AB|=|BC|=|AC|=2，△ABC的重心G$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，0）$．设E为边长BC的中点．可得DE=AE=$\sqrt{3}$，GE=$\frac{1}{3}AE$，设D$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，z）$．利用DG²+GE²=DE²，即可得出．

解答 解：由A（0，0，0），B（0，2，0），$C（{\sqrt{3}，1，0}）$，
可得|AB|=|BC|=|AC|=2，△ABC的重心G$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，0）$．
设E为边长BC的中点．
则DE=AE=$\sqrt{3}$，GE=$\frac{1}{3}AE$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设D$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，z）$．
则DG²+GE²=DE²，
∴${z}^{2}+（\frac{1}{3}×\sqrt{3}）^{2}$=$（\sqrt{3}）^{2}$，
解得z=$±\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，±\frac{2\sqrt{6}}{3}）$．

点评 本题考查了三角形的重心公式、正四面体的性质、勾股定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．