Question

（2008•襄阳模拟）在△ABC中，AC=2

3

，点B是椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的上顶点，l是双曲线x²-y²=-2位于x轴下方的准线，当AC在直线l上运动时．
（1）求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；
（2）过定点F（0，

3

2

）作互相垂直的直线l₁、l₂，分别交轨迹E于点M、N和点R、Q．求四边形MRNQ的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出B点坐标以及直线l的方程，再根据△ABC外接圆的圆心时三边垂直平分线的交点，也即AC，AB垂直平分线，再利用垂直平分线的性质，用消参法求出P的轨迹E的方程．
（2）先设直线l₁、l₂，其中一条的方程．因为两直线互相垂直，所以另一条直线方程也可知，在分别于轨迹E的方程联立，求|MN|，|RQ|，再带着参数求四边形MRNQ的面积，用均值不等式求最小值．

解答：解：（1）由椭圆方程

x2

5

+

y2

4

=1及双曲线方程x²-y²=-2可得点B（0，2），直线l的方程是y=-1．
∵AC=2

3

，且AC在直线l上运动．
可设A(m-

3

，-1)，C(m+

3

，-1)，则AC的垂直平分线方程为x=m①
AB的垂直平分线方程为y-

1

2

=

m- 3

3

(x-

m- 3

2

)②
∵P是△ABC的外接圆圆心，∴点P的坐标（x，y）满足方程①和②．
由①和②联立消去m得：y=

1

2

+

x- 3

3

(x-

x- 3

2

)，即y=

1

6

x2．
故圆心P的轨迹E的方程为x²=6y
（2）如图，直线l₁和l₂的斜率存在且不为零，设l₁的方程为y=kx+

3

2

∵l₁⊥l₂，∴l₂的方程为y=-

1

k

x+

3

2

由

y=kx+ 3 2 y= 1 6 x2

得x²-6kx-9=0∵△=36k²+36＞0，∴直线l₁与轨迹E交于两点．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9
∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

36k2+36

=6(1+k2)
同理可得：|RQ|=6(1+

1

k2

)
∴四边形MRNQ的面积S=

1

2

|MN|•|QF|+

1

2

|MN|•|RF|=

1

2

|MN|（|QF|+|RF|）=

1

2

|MN|•|RQ|=36(1+k2)(1+

1

k2

)×

1

2

=18(k2+

1

k2

+2)≥18(2+2

k2• 1 k2

)=72
当且仅当k²=

1

k2

，即k=±1时，等号成立．故四边形MRNQ的面积的最小值为72．

点评：本题考查了消参法求轨迹方程，以及圆锥曲线与均值不等式联系求最值．