Question

4．已知等差数列{a_n}与等比数列{b_n}满足：a₁=b₁+1，a₂=b₂=4，且公差比公比小1．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{{a}_{n}}{n（n+1）{b}_{n}}$，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过联立a₁=b₁+1，a₁+d=b₁q=4，q=d+1，可求出两数列的首项即公差、等比，进而利用公式计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知c_n=$\frac{1}{{n•2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{（n+1）•2}^{n}}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=b₁+1，a₂=b₂=4，且公差比公比小1，
∴a₁=b₁+1，a₁+d=b₁q=4，q=d+1，
解得：d=1，q=2，a₁=3，b₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3+n-1=n+2，
数列{b_n}的通项公式b_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）∵a_n=n+2，b_n=2ⁿ，
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{n（n+1）{b}_{n}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{{n•2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{（n+1）•2}^{n}}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2•{2}^{1}}$+$\frac{1}{2•{2}^{1}}$-$\frac{1}{3•{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n•2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{（n+1）•2}^{n}}$
=1-$\frac{1}{{（n+1）•2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．