题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，
为椭圆
上任意一点，且已知
.
（1）若椭圆的短轴长为
，求
的最大值；
（2）若直线
交椭圆的另一个点为
，直线
交
轴于点
，点关于直线
对称点为
，且，
三点共线，求椭圆的标准方程.
【答案】（1）5；（2）
【解析】
（1）由
，
，
解方程组得到椭圆的方程，再利用两点间的距离公式计算即可；
（2）当
斜率为
时，
三点共线；当斜率不为时，设直线
，联立椭圆方程得到根与系数的关系，再利用三点共线，即
计算即可得到椭圆方程.
（1）由题意，∴
，
且，∴
，
所以
，
设
，则
∵
，故当
时，
.
（2）当斜率为时，三点共线；
当斜率不为时，设直线，与椭圆
，即
联立得：
，设，
，则
，
，
又由题知
，
，∴
，
故由三点共线得，即
，
∴
，∴
代入韦达定理得：
，∴
，
，
故椭圆方程为
.
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