Question

【题目】已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．

（1）求椭圆的方程；

（2）设分别为椭圆的左、右顶点，如图，过点分别作直线与，设直线交椭圆于另一点交椭圆于另一点，分别过和作椭圆的两条切线，且两条切线交于点，分别过和作椭圆的两条切线，且两条切线交于点．证明：点在直线上．

Answer 1

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意列出关于的方程组，解方程组即可得的值，即可求得椭圆的标准方程；

（2）先设出过点的切线方程，再将此直线方程和椭圆方程联立，利用直线与椭圆只有一个交点得点的坐标，设出点的坐标，结合点的坐标可得直线的斜率，同理得直线的斜率，进而可得点在直线上．

（1）由椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．

可得，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）设过点的切线为，

由，整理得，

由，可得，化简得，

所以切点的横坐标为，所以，

由题意知，

设，则直线的斜率．

因为三点共线，所以，即

，得，

又因为，所以，

所以，

同理可得，，

所以三点共线，从而点在直线上．