题目内容
17．已知数列{an}满足${a_{n+1}}=\frac{1}{2}+\sqrt{{a_n}-{a_n}^2}$，且a1=0，则该数列的前100项的和等于（ ）| A． | 24 | B． | 25 | C． | 74 | D． | 75 |
分析 利用递推关系可得数列的周期性，即可得出．
解答 解：∵${a_{n+1}}=\frac{1}{2}+\sqrt{{a_n}-{a_n}^2}$，且a1=0，
∴a2=$\frac{1}{2}+0$=$\frac{1}{2}$，同理可得：a3=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，a4=$\frac{1}{2}$，…，
∴a2n=$\frac{1}{2}$，a2n+1=1．
则该数列的前100项的和S100=0+49+$\frac{1}{2}×50$=74．
故选：C．
点评 本题考查了数列的递推关系、数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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