题目内容
已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，记
则f（x，y，z）的最小值是________．
36
分析：先由条件求得AB•AC=4，再由 S△ABC=
AB•AC•sin30°=1，可得x+y+z=1． 再由f（x，y，z）=
=（）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值．
解答：∵，∴AB•AC•cos30°=2
，∴AB•AC=4．
∵S△ABC=AB•AC•sin30°=1=x+y+z．
∴f（x，y，z）==（ ）（x+y+z）
=1+4+9++
+
+
+
+
+
=（+）+（+）+（+ ）
≥14+4+6+12=36，即 的最小值为36，
故答案为 36．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．
分析：先由条件求得AB•AC=4，再由 S△ABC=
AB•AC•sin30°=1，可得x+y+z=1． 再由f（x，y，z）= =（
）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值．解答：∵
，∴AB•AC•cos30°=2，∴AB•AC=4．∵S△ABC=
AB•AC•sin30°=1=x+y+z．∴f（x，y，z）=
=（ ）（x+y+z）=1+4+9++
+++++=（+）+（+）+（+ ）≥14+4+6+12=36，即
的最小值为36，故答案为 36．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．
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