Question

选修4-2：矩阵与变换
设矩阵 A=

1 2 3 2 3 2 - 1 2

，求矩阵A的特征向量及A²．

Answer 1

分析：先写出矩阵的特征多项式，从而求得特征值，进而求出特征向量；利用矩阵的乘法法则求出A²．

解答：解：由题意，A=

1 2 3 2 3 2 - 1 2

的特征多项式为f(λ)=

.

λ- 1 2 - 3 2 3 2 λ+ 1 2

.

= λ 2-1=(λ+1)(λ-1)
∴λ=±1，
λ=1时，由方程

1

2

x-

3

2

y=0得特征向量(

3

，1)，
λ=-1时，由方程

3

2

x-

1

2

y=0得特征向量(1，

3

)
A 2=

1 2 3 2 3 2 - 1 2

1 2 3 2 3 2 - 1 2

=

1 0 0 1

点评：本题考查矩阵的特征值与特征向量、矩阵乘法，解题的关键是理解矩阵的特多项式，掌握矩阵的乘法法则．