Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（2-x），0≤x＜k}\\{{x}^{3}-3{x}^{2}+3，k≤x≤a}\end{array}\right.$，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[-1，1]，则实数a的取值范围是[2，1+$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由于y=log₂（2-x）在[0，k）上是递减函数，再由函数f（x）的值域是[-1，1]，得到k的范围，再由y=x³-3x²+3的图象，结合函数的值域[-1，1]，从而得到a的取值范围．

解答 解：由于y=log₂（2-x）在[0，k）上是递减函数，
且x=0时，y=1，x=$\frac{3}{2}$时，y=-1，故0＜k≤$\frac{3}{2}$，
画出函数f（x）的图象，令x³-3x²+3=1，解得x=1，1+$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$（舍去），
令g（x）=x³-3x²+3，则g′（x）=3x²-6x，
由g′（x）=0，得x=0或x=2．
∴当x=2时，函数g（x）有极小值-1．
由于存在k使得函数f（x）的值域是[-1，1]，
故a的取值范围是[2，1+$\sqrt{3}$]．
故答案为[2，1+$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的单调性和值域，考查数形结合的能力，属于中档题．