题目内容
（文）对于任意的平面向量
，定义新运算⊕：
．若
为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是 ．①
=
； ②
；③
； ④
．
【答案】分析：利用新定义和向量的线性运算即可判断出．
解答：解：①
⊕
=（x1+x2，y1y2）=
⊕
，故正确；
②∵
⊕
=（kx1+x2，ky1y2），
⊕
=（x1+kx2，y1ky2），
∴
⊕
≠
⊕
，故不正确；
③设
，
∵
⊕
⊕
=
⊕（x2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），
（
⊕
）⊕
=（x1+x2，y1y2）⊕
=（x1+x2+x3，y1y2y3），
∴
⊕（
⊕
）=（
⊕
）⊕
，故正确；
④设
，
∵
⊕
⊕
=
⊕（x2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），
⊕
⊕
=（x1+x2，y1y2）+（x1+x3，y1y3）=（2x1+x2+x3，y1（y2+y3）），
∴
⊕（
⊕
）≠
⊕
⊕
，故不正确．
综上可知：只有①③正确．
故答案为①③．
点评：熟练掌握新定义和向量的线性运算是解题的关键．
解答：解：①
⊕=（x1+x2，y1y2）=⊕，故正确；②∵
⊕=（kx1+x2，ky1y2），⊕=（x1+kx2，y1ky2），∴
⊕≠⊕，故不正确；③设
，∵
⊕⊕=⊕（x2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），（
⊕）⊕=（x1+x2，y1y2）⊕=（x1+x2+x3，y1y2y3），∴
⊕（⊕）=（⊕）⊕，故正确；④设
，∵
⊕⊕=⊕（x2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），⊕⊕=（x1+x2，y1y2）+（x1+x3，y1y3）=（2x1+x2+x3，y1（y2+y3）），∴
⊕（⊕）≠⊕⊕，故不正确．综上可知：只有①③正确．
故答案为①③．
点评：熟练掌握新定义和向量的线性运算是解题的关键．
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