Question

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂＝．

(1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证△F₁PF₂的面积只与椭圆的短轴长有关．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　不妨设椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)，由焦半径公式得椭圆上一点到焦点的距离为a±ex0．在△F1PF2中，运用余弦定理，则问题可解． 　　解答　　设椭圆方程为＋＝1，(a＞b＞0) 　　P点坐标为(x0，y0)，(y0≠0) 　　(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0， 　　在△F1PF2中， 　　cos＝＝， 　　由此解得x02＝． 　　∵x0∈(－a，a)，∴x02∈[0，a2)， 　　∴0≤＜a2解得e≥． 　　∴椭圆离心e∈[，1)． 　　(2)∵x02＝， 　　∴y02＝，|y0|＝， 　　∴＝|y0||F1F2| 　　＝·2c＝b2．得证． 　　评析　　椭圆上的点与两个焦点F1、F2所成的三角形，常称之为焦点三角形，解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理．解题中，通过变形，使之出现|PF1|＋|PF2|，这样便于运用椭圆的定义，得到a、c关系，打开解题的思路．