Question

某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x亿元，其中用于风景区改造为y亿元．该市决定制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a亿元，至多b亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%．若a=1，b=4，请你分析能否采用函数模型y=

1

100

(x3+4x+16)作为生态环境改造投资方案．

Answer 1

分析：求导函数，可得函数的单调性，进而可求函数的最值，即可得到结论．

解答：解：∵y′=

1

100

(3x2+4)＞0，
∴函数y=

1

100

(x3+4x+16)是增函数，满足条件①．
设g(x)=

y

x

=

1

100

(x2+4+

16

x

)，
则g′(x)=

1

100

(2x-

16

x2

)=

(x-2)(x2+2x+4)

50x2

，
令g'（x）=0，得x=2．
当x＜2时，g'（x）＜0，g（x）在（-∞，2）上是减函数；
当x＞2时，g'（x）＞0，g（x）在（2，+∞）上是增函数，
又a=1，b=4，即x∈[1，2]，g（x）在[1，2]上是减函数，在[1，4]上是增函数，
∴当x=2时，g（x）有最小值=16%＞15%，
当x=4时，g（x）=24%＜25%，x=1时，g（x）=25%≤25%．
∴能采用函数模型y=

1

100

(x3+4x+16)作为生态环境改造投资方案．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导是关键．