Question

（2012•静安区一模）如图，在四棱锥P-ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．
求：
（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
（2）四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用平移法作出异面直线所成的角，进而利用余弦定理可求线线角；
（2）四棱锥的体积为

1

3

×底面积×高，求出底面梯形的面积即可．

解答：解：（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，从而BC=AF=2，……（2分）
延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD与AC所成角，且DE=AC=

5

，AE=

26

，PE=3

3

，PD=

10

．（5分）
在△PDE中，cos∠PDE=-

3 2

5

．…（8分）
所以，异面直线PD与AC所成角的大小为arccos

3 2

5

．…（9分）
（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，
∴底面梯形面积为

5

2

∵PA⊥平面ABCD，PA=1．
∴四棱锥P-ABCD的体积为

1

3

×

5

2

×1=

5

6

．…（6分）

点评：本题考查线线角，考查棱锥的体积，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．