Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项为4，设数列的前n项和为S_n，且，，成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（2）记A_n=+++…+，B_n=+++…+，当n≥2时，试比较A_n与B_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n项的和可得；
（2）利用（Ⅰ）的a_n和S_n，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理A_n与B_n，然后进行比较．
解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由，
得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），因为d≠0，所以d=a₁=4，
所以a_n=4n，S_n==2n（n+1）；
（2）∵
∴A_n==．
又，
∴=．
当n≥2时，，
即．
所以A_n＜B_n．
点评：本题是数列和不等式的综合题，考查了等比数列的性质，考查了裂项相消法求数列的和，训练了利用放缩法求解不等式，是有一定难度题目．