Question

若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，则△ABM与△ABC面积之比等于

1：4

．

Answer 1

分析：欲求△ABM的面积与△ABC面积之比，而这两个三角形同底只需求高之比即可，过C作AB的垂线交AB与点D，过点M作AB的垂线交AB与点E，取AH=

1

4

AC，AN=

3

4

AB，过点H作AB的垂线交AB与点F，可得S△ABM：S△ABC=ME：CD=HF：CD=AH：AC，得到结论．

解答：解：∵

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，
∴M，B，C 三点共线
过C作AB的垂线交AB与点D，过点M作AB的垂线交AB与点E
取AH=

1

4

AC，AN=

3

4

AB，过点H作AB的垂线交AB与点F
∵

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，
∴

AM

=

AH

+

AN

即AHMN构成平行四边形，则HF=ME
而S_△ABM：S_△ABC=ME：CD=HF：CD=AH：AC=

1

4

∴△ABM的面积与△ABC面积之比为1：4．
故答案为：1：4．

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，解题的关键利用同（等）底三角形面积这比等于高之比，属于中档题．