Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax+b（a，b∈R）在x=2处取得的极小值是-

4

3

．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-4，3]时，有f（x）=m²+m+

10

3

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，由题意可得，f（2）=-

4

3

，f′（2）=0，解得即可得到a，b，进而通过解f′（x）＞0，即可得到单调增区间；
（2）求出f（x）的导数，单调区间和极值，及在[-4，3]上的最大值，再由f（x）≤m²+m+

10

3

在[-4，3]上恒成立等价于m²+m+

10

3

≥

28

3

，解不等式即可得到．

解答： 解：（1）f′（x）=x²+a，由题意

f′(2)=4+a=0 f(2)= 8 3 +2a+b=- 4 3

，解得

a=-4 b=4

，
令f′（x）=x²-4＞0得f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（2，+∞）．
（2）f（x）=

1

3

x³-4x+4，当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	-4	（-4，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 4 3	单调递增	28 3	单调递减	- 4 3	单调递增	1

所以-4≤x≤3时，f（x）_max=

28

3

．
于是f（x）≤m²+m+

10

3

在[-4，3]上恒成立等价于m²+m+

10

3

≥

28

3

，
求得m∈（-∞，-3]∪[2，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．