Question

已知椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由已知可得，得出3a²=4b²①又点在椭圆C上，得到解之即得a，b．从而写出椭圆C的方程；
（Ⅱ）先对k 分类讨论：当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得，所以；当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得，所以3a²=4b²①（1分）
又点在椭圆C上，
所以②（2分）
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为．（5分）
（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得，
所以．（6分）
当k≠0时，则由
消y化简整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0③（8分）
设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x，y），
则．（9分）
由于点P在椭圆C上，所以．（10分）
从而，化简得4m²=3+4k²，经检验满足③式．（11分）
又
=
=．（12分）
因为，得3＜4k²+3≤4，有，
故．（13分）
综上，所求|OP|的取值范围是．（14分）
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．