Question

函数f（x）=sinx+cosx，设x∈[，]，若f²（x）≥a恒成立，则实数a的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：化简函数f（x）=sin（x+），根据x∈[，]，利用正弦函数的定义域和值域求得 ≤f（x）≤．再由 f²（x）≥a恒成立，可得
=1-≥a，由此求得实数a的取值范围．
解答：解：∵函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+），设x∈[，]，则 x+∈[，]，故 sin≤sin（x+）≤sin．
求得sin=sin（-）=sincos-cossin=，∴≤sin（x+）≤1，故 ≤f（x）≤．
再由 f²（x）≥a恒成立，可得 =1-≥a，故实数a的取值范围为（-∞，1-]．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．